『ランダム』ってどういう意味？

私は典型的な文系人間なので数学は大の苦手。でも、いろんな投資本で「投資をするなら確率論を勉強しろ」と書いてあるので、仕方なく、基本の「き」から確率論の勉強をしているところ。
そういったわけで、これまでに何冊か（数学が苦手な人向けの）やさしい確率論の本を読んだことがあるんだけど、それ以来、ずっと疑問に感じていることがある。

インデックス投資家は「株価は短期的にはランダムだけど、長期的には成長する」と信じているし、「バリュー投資家」は「株価は短期的にはランダムだけど、長期的には企業価値に収束する」と信じている。

でも、それっておかしくない？

もし株価がランダム、つまり上がる確率と下がる確率が（ほぼ）等しいとしたら、長期的にもランダムでないといけないはず。
例えば、分かりやすい例で考えてみると（というか難しいことは分からない）、「このサイコロを振ってどの目がでるかは、短期的にはランダムだが、長期的には４の目(別に３でも５でもいいんだけど)の出る確率が高い」ということはありえないんじゃないかと思う。
だって、ある事象がランダムかどうかは、「同じ事象を無限大に繰り返した場合にどうなるか」で決まるんだから、もしそのサイコロを無限回振った場合に４の目が出る割合が高いとしたら、そのサイコロを1回振った場合に４の目が出る確率が高いという結論にならないとおかしい。

なので、短期的にランダムなものが長期的に有意な傾向を示す、ということはありえない（というか、長期的に有意な傾向を示すものを「ランダム」とはいわない）んじゃないかと思うんだけど･･

もっとも、私の数学レベルは高校卒業程度に満たないので、誰か詳しい方がいたら教えてください。